命題８
直角三角形において、垂線が直角から底辺に引かれるならば、垂線に接する三角形は全体にも互いにも相似である。
⊿ABCを∠BACが直角である直角三角形とし、ADをAからBCに引いた垂線とする。
⊿DABと⊿DACのそれぞれが全体⊿ABCと相似であり、さらに、それらが互いに相似であることをいう。
∠BACが∠BDAと、それぞれが直角であるために等しく、そして∠Bは２つの⊿ABCとDBAにおいて共通であるから、それゆえに余りの∠ACBは余りの∠DABと等しい。それゆえに⊿ABCは⊿DBAと対応する角が等しい。propositionⅠ．３２
それゆえに⊿ABCにおいて直角に対応するBCは、⊿DBAにおいて直角に対応しているBAに対し、同じように⊿ABCにおいて∠Cに対応しているABは、⊿DBAにおいて等しい∠BADに対応しているDBに対し、そしてまた同じように、２つの三角形において共通である∠Bに対応しているACはDAに対する。 propositionⅥ．４
それゆえに⊿ABCは⊿DBAと対応している角が等しく、そして等しい角のまわりに比例している辺を持つ。
それゆえに⊿ABCは⊿DBAと相似である。definitionⅥ．１
同じ方法で⊿DACもまた⊿ABCと相似であることを証明できる。それゆえに⊿DBAと⊿DACのそれぞれは全体⊿ABCと相似である。
次に⊿DBAと⊿DACが互いにもまた相似であることを言う。
直角BDAは直角ADCと等しく、そしてさらに∠DABが∠Cと等しいことは証明されたから、それゆえに余りの∠Bもまた余りの∠DACと等しい。それゆえに⊿DBAは⊿ADCと対応する角が等しい。propositionⅠ．３２
それゆえに⊿DBAにおいて∠DABに対応しているBDは、⊿DACにおいて∠BADと等しい∠Cに対応しているADに対し、同じように⊿DBAにおいて∠Bに対応しているADは、⊿DACにおいて∠Bと等しい∠DACに対応しているCDに対し、そしてまた同じように直角に対する辺BAはACに対する。それゆえに⊿DBAは⊿DACと相似である。propositionⅥ．４、definitionⅥ．１
それゆえに、直角三角形において、垂線が直角から底辺に引かれるならば、垂線に接する三角形は全体にも互いにも相似である。
証明終了
系
このことから、直角三角形において垂線が直角から底辺に引かれるならば、引かれた直線は底辺の部分の中間で比例している。